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| 北大學(xué)子備考錦囊 | 韓昀致：厚積薄發(fā)，妙悟數(shù)學(xué) |
| http://qbhqg.cn 2024年1月4日 來源：北京大學(xué)招生辦 |
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寒窗苦讀時，是否期待一盞明燈？挑燈夜戰(zhàn)時，是否渴望指點(diǎn)迷津？或許你已經(jīng)步履沉重，或許你還在咬牙堅持，但請相信這不會是一場孤勇的旅程。未名博雅，千里同行，北大學(xué)子為你送上這份真誠的“備考錦囊”。學(xué)什么最重要？怎么學(xué)最高效？這里有你最需要的答案。無論你是求學(xué)前路尚曲折的旅者，還是高考戰(zhàn)場正披掛的戰(zhàn)士，北大始終與你同行。
學(xué)生姓名：韓昀致
畢業(yè)中學(xué)：江蘇省淮陰中學(xué)
就讀院系：北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院
概述：中學(xué)的數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)，是一門所有中學(xué)生都不會感到陌生的學(xué)科。誠如卡爾·馬克思所說：“一門科學(xué)，只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時，才能達(dá)到真正完善的地步�！睌�(shù)學(xué)是一切自然科學(xué)的基礎(chǔ)，從個人角度看，一名學(xué)者數(shù)學(xué)水平的高低很大程度上決定了他的研究深度；從人類角度看，數(shù)學(xué)學(xué)科的一次次革命與發(fā)展推動著人類社會生產(chǎn)力水平的提高，數(shù)學(xué)學(xué)科的重要性不言而喻。
在中學(xué)的求知階段，我們不再滿足于小學(xué)時對數(shù)學(xué)學(xué)科的偏感性認(rèn)識，而是更為系統(tǒng)與全面地接觸并掌握數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的數(shù)學(xué)思維。中學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無疑是基礎(chǔ)的、關(guān)鍵的。而數(shù)學(xué)歷來也是中學(xué)各種考試的重難點(diǎn)、“生命線”，很多時候這一門學(xué)科便可以拉開巨大的分差，區(qū)分度極大。因此，無論是基于功利應(yīng)試的層面還是人生未來的層面，中學(xué)數(shù)學(xué)都不可謂不重要。
然而，從初中到高中，數(shù)學(xué)也是令無數(shù)同學(xué)憂心忡忡的一門學(xué)科。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的各種問題，歸根結(jié)底在于其巨大的訓(xùn)練量、計算量、思維量讓中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)非常需要學(xué)生具有正確的心態(tài)、恰當(dāng)?shù)姆椒ā?yán)謹(jǐn)?shù)囊?guī)范與靈活的技巧。這四者相輔相成、缺一不可，當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遭遇瓶頸或產(chǎn)生波動時，我往往從這幾個角度加以反思與改進(jìn)，取得了不錯的效果。在此，我希望用這篇文章，講一講我個人對中學(xué)數(shù)學(xué)尤其是課內(nèi)部分的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，能為需要它們的同學(xué)提供一些綿薄的幫助。
1
心理與態(tài)度
長風(fēng)破浪會有時，直掛云帆濟(jì)滄海
在闡述一些具體的做法前，我想先簡單表明我所認(rèn)為正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心態(tài)，畢竟心態(tài)好比一門學(xué)科學(xué)習(xí)時的心理底色，也有一定的共性，定下了心目中這門學(xué)科的基調(diào)。
中學(xué)數(shù)學(xué)的成績，從來不是僅僅由天賦或智商決定的，甚至可以說，這些因素在其中的影響并不大。如同任何一個中學(xué)學(xué)科一樣，影響最終成績高低的最直接因素，除去臨場的狀態(tài)和不可預(yù)知的考運(yùn)外，就是平日里在這門學(xué)科上的付出與積累，和考前復(fù)習(xí)所做的準(zhǔn)備，誰都不能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中選擇躺平。
所以，每一名同學(xué)都有學(xué)好數(shù)學(xué)的潛力，對于自我要求較高的同學(xué)，更應(yīng)當(dāng)追求數(shù)學(xué)學(xué)科的卓越。值得在這門學(xué)科上做出的努力是沒有極限的，遭遇到困難意味著訓(xùn)練思維的增長點(diǎn)的出現(xiàn)，而非是駐足退縮的理由。無論是誰，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)都應(yīng)是始終向上、精益求精，追求盡可能接近滿分，拒絕小富即安。
一分耕耘，一分收獲，為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所花的精力，總會在某一天帶來一定的回報；持之以恒地鉆研數(shù)學(xué)，終可以在數(shù)學(xué)之海中乘風(fēng)破浪。不懼怕數(shù)學(xué)、具有迎難而上的韌勁與耐挫力、永遠(yuǎn)保持自己可以學(xué)好數(shù)學(xué)的樂觀與堅定并愿意為之努力，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)有的第一點(diǎn)心態(tài)。
也有一些同學(xué)會走向另一個極端，也就是過分地依賴大量刷題、一段時間不學(xué)數(shù)學(xué)就會焦慮，這當(dāng)然也是不必要的。數(shù)學(xué)終歸也是一門中學(xué)學(xué)科，的確需要大量的投入，但也不必為了數(shù)學(xué)影響到其他學(xué)科，或是不理性地花費(fèi)寶貴的時間去做沒有太多效果的事。平靜地對待數(shù)學(xué)，反而會有助于思維的活躍與注意力的集中，也更容易把數(shù)學(xué)學(xué)好。戒驕戒躁，以一顆平常心對待數(shù)學(xué)，不太過緊張而影響正常的思考，這是我想說的第二點(diǎn)心態(tài)。
而更高一個境界，則是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中感悟到數(shù)學(xué)之美，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，從中感受心靈的平靜與思考的純粹�？继卣f過，“數(shù)學(xué)是人類智慧皇冠上最燦爛的明珠�！彪m然我們的水平與眼界不及那些數(shù)學(xué)大家，但當(dāng)我們苦苦思索一道題后終于豁然開朗時，當(dāng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的日日夜夜化為成果時，那種喜悅是真切的；一道巧妙的題目，不僅考驗(yàn)了能力，更讓人不禁驚嘆出題者的巧思與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美；小心謹(jǐn)慎地完成一道陷阱重重的題目，正是一次對嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)精神的接觸。
將自己沉浸于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，總有一個時候，你會發(fā)現(xiàn)自己對于數(shù)學(xué)的興趣，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也就成為了一種自然的樂事。
這三點(diǎn)心態(tài)來自我自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，我相信，秉持正確積極的心態(tài)，數(shù)學(xué)終會成為一位良友，讓人受益無窮。
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學(xué)數(shù)方法論
千淘萬漉雖辛苦，吹盡黃沙始到金
光有心態(tài)，對于中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是顯然不夠的。中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)講究“精講多練”，基礎(chǔ)的知識經(jīng)過老師們一年年的拓展與挖掘，產(chǎn)生了千變?nèi)f化的題型、不計其數(shù)的考點(diǎn)、不容小覷的難度，考試的內(nèi)容對于中學(xué)的學(xué)習(xí)時間而言是繁多的，停留于表面的刷題無法真正解決問題，所以不可“把題目帶進(jìn)考場”，而應(yīng)“把思維帶進(jìn)考場”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有捷徑存在，數(shù)學(xué)成績不會無故階躍，我的方法沒有什么聳人聽聞的秘技，也不宣稱什么奇跡，唯有坐得住、學(xué)進(jìn)去、勤思考、多總結(jié)，最真實(shí)的數(shù)學(xué)水平才會一步一步地提高，經(jīng)得住各種試煉，在風(fēng)雨中立定腳跟，踏石留印。
廣義上的方法可以分為學(xué)習(xí)的方法和解題的方法，后者更多的屬于技巧一類，本章先重點(diǎn)就前者進(jìn)行介紹。中學(xué)學(xué)習(xí)在時間上可以分為兩個階段，一是初中階段，二是高中階段，二者具有很大的共性，但也有一定的差別。具體而言，初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難度相對平和，高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難度則較大，因而高中數(shù)學(xué)需要的方法也會更多�？傮w來說，日常的中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有如下過程：預(yù)習(xí)、課堂、作業(yè)、訂正、練習(xí)、復(fù)習(xí)、考試，每一個過程都十分重要，相輔相成。
預(yù)習(xí)是學(xué)好數(shù)學(xué)的第一步，但也是經(jīng)常不被重視或缺乏正確方式的一步。有同學(xué)通過課外輔導(dǎo)過早地學(xué)習(xí)超過其所在年級的知識，這種階段性的預(yù)習(xí)意識是好的，對于以競賽為目標(biāo)、能力較強(qiáng)的同學(xué)，這是適合的預(yù)習(xí)，但我個人認(rèn)為這對于以普通高考為目標(biāo)的學(xué)生而言沒有必要，一般來說在每個學(xué)期前能把這個學(xué)期前幾章的內(nèi)容進(jìn)行預(yù)習(xí)便足矣。這種“總預(yù)習(xí)”可以讓學(xué)期在開始時的壓力不那么大，也更容易把知識掌握牢固，更快進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。
中學(xué)數(shù)學(xué)的預(yù)習(xí)肯定不能止于翻一翻書本，無論是自主復(fù)習(xí)還是依靠輔導(dǎo)，一定的訓(xùn)練是必要的，先拿一本資料把對應(yīng)單元的題目做一做，根據(jù)做題的感覺在課本中尋找相關(guān)內(nèi)容并進(jìn)行理解，對課本有大致的印象，可以更高效、更有針對性地完成預(yù)習(xí)準(zhǔn)備。
除此以外，預(yù)習(xí)還發(fā)生在每一天的學(xué)習(xí)中，通常中學(xué)數(shù)學(xué)的講義會分為課堂精講和課后練習(xí)，課堂所要講的例題，就是前一天預(yù)習(xí)時要提前完成的部分。這種分散在日常中的預(yù)習(xí)，最好配合精讀課本上的相關(guān)內(nèi)容，尤其是課本中的定理定義、思考題和補(bǔ)充內(nèi)容，這些不只含有標(biāo)準(zhǔn)的解釋和有關(guān)的思想，還是考試的依據(jù)，在課堂中也涉及較少，及時跟進(jìn)課本可以讓學(xué)習(xí)變的扎實(shí)。
此外，預(yù)習(xí)的好壞并非以能否做對為標(biāo)準(zhǔn)，預(yù)習(xí)本來遇到的就是陌生的知識與題目，不會做、做不對無可厚非，關(guān)鍵在于是否留下了有效思考的痕跡，做對了有什么心得？思路進(jìn)行不下去是哪里出了問題？想到的多種思路哪一種更好？帶著自己的觀點(diǎn)與疑惑進(jìn)入課堂，才能讓學(xué)習(xí)事半功倍。
無論是什么學(xué)科，課堂都是學(xué)習(xí)的核心區(qū)。課堂的內(nèi)容中或許會有自己已經(jīng)熟練的內(nèi)容，但就在這些自以為熟悉的內(nèi)容中，老師在某一個瞬間的板書或講解可能就包含著幾十年經(jīng)驗(yàn)帶來的重要提醒。
課堂中學(xué)生應(yīng)該是主動的，把細(xì)微的關(guān)鍵點(diǎn)從一節(jié)課堂任何可能的位置中發(fā)掘出來，這需要注意力的高度集中，切忌長期在課堂上做作業(yè)或走神，否則千里之堤，潰于蟻穴，日積月累的損失會帶來可怕的后果。
除了集中精力聽講，課堂上還需要盡量隨堂理解好老師的思路、記憶住評講的知識點(diǎn)，不能太自信于自己的課后復(fù)習(xí)能力。對于中學(xué)數(shù)學(xué)的課堂筆記，我的看法是記下例題，解答不要去匆忙地記錄，留到下課后憑借對課堂的回憶再去完成，這樣做筆記的過程也就成為了回顧課堂、加深理解的過程，充分利用了筆記，當(dāng)你在課后可以完整無誤、沒有疑惑地完成例題，也就對例題有了深度的見解，同時也不會因?yàn)橛浌P記分散了精力而錯過課堂的內(nèi)容。
另外，在數(shù)學(xué)課這樣一個對學(xué)生課前與課上思考力要求高的課堂，真正優(yōu)秀的學(xué)生往往能主導(dǎo)課堂的節(jié)奏，而不是做被動的接受者，同學(xué)們在課堂上應(yīng)該積極發(fā)言，展示自己的思路方法，這樣數(shù)學(xué)的課堂將會充滿生機(jī)。
作業(yè)與訂正是緊隨課堂的，老師監(jiān)督力度較高的硬性練習(xí)與整理，質(zhì)量較高，需要珍惜。對于作業(yè)不應(yīng)當(dāng)僅以完成為目標(biāo)去用零碎的時間把完整的一份學(xué)案拆散，而是應(yīng)該留出整段的時間限時、高質(zhì)完成，配合作業(yè)對每天的課堂內(nèi)容及時鞏固，把作業(yè)的完成效果最大化。
作業(yè)的訂正也不能滿足于記下一個答案，最好的態(tài)度是附紙訂正，以最嚴(yán)格的大題標(biāo)準(zhǔn)要求過程，愿意的話還可以抄一下題干來強(qiáng)調(diào)審題的重要，簡單對錯因進(jìn)行分析，便于復(fù)習(xí)。
關(guān)于錯題本，可以根據(jù)自己的需要進(jìn)行選擇性的整理，建議在高中階段備有兩本：一本記錄相對低級的錯誤點(diǎn)或知識盲區(qū)，逐條記錄提醒自己；另一本記錄難題大題的步驟思路，積累方法、提升思維，錯題本應(yīng)以實(shí)用為先，不要去為了外在的形式耗費(fèi)大量時間。
課外自主的練習(xí)與作業(yè)相對，屬于“老師建議+自主選擇”的偏軟性練習(xí)。中學(xué)數(shù)學(xué)的課外練習(xí)很多時候會進(jìn)入一個誤區(qū)，即大量訓(xùn)練，遭遇難題怪題導(dǎo)致焦慮或依賴心理，為解決焦慮而選擇刷更多的題，漸漸走上題海戰(zhàn)術(shù)的道路，影響正常課內(nèi)學(xué)習(xí)。
選擇一本適合自己的、高質(zhì)量的、題量適中的練習(xí)冊，是從源頭上解決這個問題的第一步。課外拓展要記住不刷情緒題、不刷急躁題、不刷偏門題、不刷毛病題，練習(xí)只需要一本，重在自己對其有始有終的對待與利用，像對待作業(yè)那樣對待練習(xí)，用練習(xí)補(bǔ)充作業(yè)，著重練習(xí)弱點(diǎn)難點(diǎn)，練習(xí)才會有效。
對于中學(xué)數(shù)學(xué)而言，考前的復(fù)習(xí)雖說是臨陣磨槍，但也可能幫助避免考試時低級錯誤的發(fā)生，帶來考試的底氣與自信，因此復(fù)習(xí)的主要內(nèi)容包括作業(yè)中的錯題、課堂的筆記以及平時整理的錯題本。
考試是總結(jié)提升的好機(jī)會，一名中學(xué)生的數(shù)學(xué)能力總是在一次次考試的洗禮后成長。考試時的技巧可以粗略的概括為幾個關(guān)鍵詞：調(diào)動精力、因題用法、分配時間、顧全大局，以最佳的狀態(tài)迎接考試的檢驗(yàn)，考后認(rèn)真做好反思總結(jié)，進(jìn)步與突破終會萌生。
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規(guī)范很重要
慎對易處以避難，敬待毫微致遠(yuǎn)大
這一部分我想通過規(guī)范強(qiáng)調(diào)中學(xué)數(shù)學(xué)的代表性學(xué)科品格：嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致。規(guī)范是什么？規(guī)范不是死板的答題套路，規(guī)范可以是看得見的，是優(yōu)美工整的卷面，條分縷析的答題步驟；規(guī)范也可以是看不見的，是草稿本的有序利用，審題時做的圈圈畫畫。當(dāng)老師第一次向我指出規(guī)范的重要性時，我也曾把規(guī)范當(dāng)做是便利閱卷老師的表面功夫，不需要認(rèn)真對待，但在不斷地試錯與改進(jìn)中，我發(fā)現(xiàn)規(guī)范帶來的紅利，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止給閱卷老師帶來好印象這么簡單。
第一，以2023年數(shù)學(xué)新高考一卷為例，很多考生踏出考場后表示試題簡單，但這類考生的成績往往不如人意，一部分原因正是本次高考閱卷對過程分改得細(xì)、要求高，在平日里就關(guān)注規(guī)范，在中、高考較高的閱卷標(biāo)準(zhǔn)下具有一定的直接優(yōu)勢。
第二，除了客觀因素，規(guī)范的存在更對學(xué)生自己有著主觀上的正面效果，如果做題時謹(jǐn)守規(guī)范，做題速度必然無法過快，看似教條的規(guī)范實(shí)則是歷來教學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)之談，遵守規(guī)范的同時也就規(guī)避了大量如審錯題、計算錯等非智力因素失分。
第三，規(guī)范也并非完全的一成不變，融入一定個人風(fēng)格的規(guī)范其實(shí)體現(xiàn)了個人的思考特性，有助于個人數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。
揆其本質(zhì)，規(guī)范反映了中學(xué)數(shù)學(xué)力圖培養(yǎng)的嚴(yán)謹(jǐn)學(xué)風(fēng)。嚴(yán)謹(jǐn)意味著理性與確定性，這也是數(shù)學(xué)最吸引我的一點(diǎn)。高一時剛剛接觸立體幾何時那堂有關(guān)公理的數(shù)學(xué)課令我記憶猶新，那節(jié)課的內(nèi)容本身并無難度，但老師卻帶著我們利用基本事實(shí)，結(jié)合課本將公理一一證明，課堂兼具思維量與趣味性，深化了我們對基本事實(shí)與公理的理解。
看似顯然的結(jié)論，若沒有可以窮盡客觀事實(shí)的證據(jù)將其證明，那也只是一個猜想。數(shù)學(xué)史上體現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)之重要的例子不勝枚舉，譬如雙曲幾何與橢圓幾何的建立；譬如強(qiáng)小數(shù)定律的告誡；還譬如讓學(xué)者一度懷疑計算機(jī)故障的Borwein積分……只憑借客觀的驗(yàn)算與邏輯判斷對錯，這是令我激賞的數(shù)學(xué)之堅固。當(dāng)自己被一道題目的陷阱欺騙后憤懣不平時，不妨想想其對規(guī)范的引導(dǎo)，想想其反證的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋夭豢缮佟?br>
一言以蔽之，著眼于細(xì)節(jié)處的規(guī)范，是一個扎根的過程，有了這么一個根本，才能生長出參天大樹。
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技巧的悖論
剝盡皮毛見本真，此中無古亦無今
即使是最優(yōu)秀的同學(xué)也會不經(jīng)意間因?yàn)閷ζ婕家傻淖非笙萑肜Ь�，但答題技巧也是無數(shù)有關(guān)中學(xué)數(shù)學(xué)的參考書的關(guān)鍵賣點(diǎn)，我即使窮盡這整篇文章的篇幅，離講完中學(xué)數(shù)學(xué)所有的技巧也遙遙無期，何況我也不知道所有的技巧，甚至不知道中學(xué)數(shù)學(xué)的技巧是不是有限的，所以我并不打算寫怎么做題，而是要寫寫我對于技巧本身的觀點(diǎn)。
技巧是有用的，尤其是對于解析幾何這種計算量巨大的題型，適當(dāng)?shù)胤e累一些針對特定問法的技巧，無疑可以在面對相應(yīng)問題時省下大量時間，例如在解析幾何大題中齊次化、平移齊次化、運(yùn)用基本不等式與“1”的代換求最值，這些技巧確實(shí)很有用。但問題有內(nèi)外兩點(diǎn)，外是高考以創(chuàng)新為導(dǎo)向，像2023年數(shù)學(xué)新高考一卷的壓軸解幾就很難在考場上想到什么平常多用的技巧；內(nèi)是學(xué)生對技巧的掌握通常停留在完整解題的 “后半段”，也就是說，老師與教輔比較容易講明白一套技巧的工作原理，但很難講明白這套技巧的產(chǎn)生原理，或只能牽強(qiáng)附會地講明白。
如通過構(gòu)造一元二次方程利用根的判別式證明Cauchy不等式的技巧，第一次聽到時確實(shí)給我?guī)砹梭@嘆，但驚嘆之后呢？沒有之后，那個技巧在其他地方幾乎毫無用武之地。打一個比方，技巧就像是一把把大小、花紋各不相同的螺絲刀，它們可以輕松地把對應(yīng)的螺絲擰進(jìn)洞里，但當(dāng)你遇到了一個從未見過的螺絲，你卻沒有辦法制作出一個與之匹配的螺絲刀。這就是技巧的困境。
怎樣走出迷宮，不做技巧的囚徒呢？答案是：練好一把錘子。這把通用于所有型號的釘子的錘子，就是通性通法。高考壓軸題固然難，但耐下性子列式聯(lián)立計算，用最基本的韋達(dá)定理、消元法和求導(dǎo)求最值，證明最終自然完成了。中學(xué)數(shù)學(xué)不強(qiáng)求太多技巧，高考更不會考察技巧，回歸課堂書本中的基礎(chǔ)，那里就有最好的技巧。
總結(jié)一下：我們需要適當(dāng)掌握技巧，但技巧不會是中學(xué)數(shù)學(xué)的重心所在。
寫在最后：關(guān)于競賽
本文主要面向課內(nèi)學(xué)習(xí)寫作，但競賽也是中學(xué)數(shù)學(xué)，特別是高中優(yōu)秀學(xué)子們繞不開的話題，在結(jié)尾一筆帶過。
本人參加過高中數(shù)學(xué)競賽，雖然是半路出家，也取得了一些成績。競賽競爭激烈，對于要不要學(xué)的問題，我的答案是數(shù)學(xué)競賽對于課內(nèi)學(xué)習(xí)存在一定的幫助，但并沒有太多直接的優(yōu)勢，很多競賽生反而會因缺乏良好的習(xí)慣而在課內(nèi)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在劣勢，但競賽會豐富中學(xué)數(shù)學(xué)的課內(nèi)內(nèi)容，這本身也有很多更長遠(yuǎn)的益處。綜上，我還是會推薦有能力的同學(xué)分一些精力嘗試數(shù)學(xué)競賽，至少這一面之緣給我留下了美好的回憶。
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